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複素函数に対応するベクトル場

2017年4月20日
複素函数論は2次元の理想流体の理論=2次元の電磁気学とみなすと直観的に分かりやすい。電荷を持つ粒子は留数が実数の一位の極に対応している。
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画像の提供元: @genkuroki
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· 4月19日

複素函数のグラフをどう描くは面白い問題。2次元平面領域から2次元平面への写像なので、グラフは4次元空間内の2次元の曲面になる。私はベクトル場とみなしてプロットしてみることがよくある。実例に続く。

病院に向かう途中、一台のベンツを見かけた。その車を見ていて、私はなぜか無性に三次方程式 x^3=1 をグラフ化して遊びたくなった。これはその思いで作ったメモである。ちなみに見かけた車がBMWだったら四次方程式をグラフ化していたであろうことは秘密である。
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· 4月19日
返信先: さん

添付画像は より。f(z)=z^3-1に対応するベクトル場の積分曲線。1の3乗根でベクトル場がゼロになっていることがわかる。続く

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· 4月19日
返信先: さん

一般に複素函数f(z)に対して、u=Re f(z), v=Im f(z) とおくとき、ベクトル場 (u,-v) をプロットするとよい。虚部を-1倍しておくと、コーシー・リーマンの方程式から湧き出しと渦無しの流れになる。湧き出しや渦は極に現われる。続く

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· 4月19日
返信先: さん

scilab で描いた複素函数のベクトル場の例は以下のまとめにある。⚡️ "scilabによるプロット：ベクトル場とKdV方程式" 作成者:

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· 4月19日
返信先: さん

すみません。リンク先の添付画像が f(z)=z^3-1 のベクトル場のプロットだいうのは誤りです。次のツイートで訂正版を出します。

返信先: @genkurokiさん
添付画像は より。f(z)=z^3-1に対応するベクトル場の積分曲線。1の3乗根でベクトル場がゼロになっていることがわかる。続く
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· 4月19日
返信先: さん

訂正版。(x+iy)^3-1=(x^3-3xy^2-1)-i(y^3-3xy^2) のベクトル場のプロット。1の3乗根でベクトル場は0になっている。

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· 4月19日
返信先: さん

それでは、リンク先のプロットの方にも1の3乗根の場所がくっきり現われているのは偶然か？偶然ではない。続く

返信先: @genkurokiさん
添付画像は より。f(z)=z^3-1に対応するベクトル場の積分曲線。1の3乗根でベクトル場がゼロになっていることがわかる。続く
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· 4月19日
返信先: さん

続き。誤りとしたベクトル場は1/(z^3-1)の「分母」をのぞいた分のベクトル場である。1/(z^3-1)のベクトル場(の積分曲線)のプロットは添付画像の通り。

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· 4月19日
返信先: さん

1/(z^3-1)の極はz=1,e^{±2πi/3}にあり、それぞれ留数は1/3,-1/6±i√3/6です。z=1から流れ出した1/3の電気力線がz=e^{±2πi/3}に1/6ずつ流れ込んでいる。z=e^{±2πi/3}での渦度は±√3/6で回転の向きは逆。

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· 4月19日
返信先: さん

プロットするなら極があった方が面白いです。複素函数論は2次元での理想流体の理論=2次元の電磁気学です。極が粒子。

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· 4月19日
返信先: さん

1/(z^4-1)のベクトル場。z=±1が湧き出しと吸い込み、z=±iが互いに逆回転の渦。

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· 4月19日
返信先: さん

1/(z^5-1)のベクトル場

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· 4月19日
返信先: さん

ついでに |ζ(0.6+it)| のプロット。さすがに零点らしきところは見つからない(笑)。

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· 4月19日
返信先: さん

|ζ(0.5+it)|のプロット。たくさんの零点が！(笑)

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· 4月19日
返信先: さん

数学好きの少年にとって、リーマンのゼータ函数の零点の様子を寝床で寝転んで見て楽しむことは夢の一つだったと思うのですが、このように実現してしまっている。

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· 4月19日
返信先: さん

寝床でのWolframAlphaは健康に悪いかも。眠れなくなる。

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· 4月19日
返信先: さん

計算や証明をサポートしてくれるもっと強力な使いやすい道具があれば、もっと楽にたくさんの数学をできるのになあと思います。すべての命令を入力しなくてもいろいろやってくれるのは便利。

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